在梅济耶尔学院，蒙日由于出身低微，被分到测量和制图这一“较差”的专业学习。蒙日没有抱怨，相反他过得很快活，因为测量和制图的日常工作比较简单，使他有大量的时间去研究数学。蒙日在该校所学的常规课程中很重要的一部分是筑城术，关键是要把防御工事设计成没有任何一部分暴露在敌方的直接火力之下。通常的设计总是根据提供的数据进行大量繁琐的算术计算，而且得不到理想的结果。
这时年仅22岁的蒙日再一次显示了他“以几何的精确性说明思想的手指”的才华。他初创出“画法几何学”的方法，在一项防御工事掩蔽体的设计中，不用惯用的计算方法，而采取几何图解法，避开了冗长的、烦琐的算术计算，迅速地完成了任务。一天，蒙日呈交上自己对这项工程设计的解答报告，报告随即被转交给一位高级官员审查。起初，这位官员怀疑当时有人能解决这个问题，拒绝审查蒙日的报告。后经蒙日再三要求，他才进行审查。审查过后，他发现蒙日画法几何学的方法是严密的，结果是正确的。这种方法为工程设计带来了极大的方便。以前像恶梦一样令人头疼的问题，即人们在设计时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁，再重新设计施工才能解决的工程难题，在使用蒙日的画法几何方法后变得十分简单而易于解决了。蒙日的才华再次被人们发现，学院立即任命他为教师，让他把这个新的方法教给未来的军事工程师们；而且校方规定他只限于在校内讲画法几何学的设计制图方法，对外保密。
定理内容：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。
证明：设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线，证明三根轴交于根心。根轴定义如下：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点；B与C的根轴L2：到B与C的切线上，所以：P到A的切线距离=P到B的切线上，所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。所以：三个根轴交于一点。
蒙日在皇家军事工程学院讲授画法几何学，时间长达15年。1784年由于被任命为海军学员主考官而离开该校。1795年巴黎高等师范学校成立，蒙日应邀讲授画法几何学，并辅导作业，学生有1200多名，来自全国各地，助教为著名的科学家傅立叶。讲授过程中他不断地融入自己科研的实例和理论成果，讲授内容的速记稿随后在该校校刊发表，但对外保密。同年，综合工科学校成立，蒙日将画法几何学列为该校的“革命科目”，并亲自担任教学工作。1798年由于学生们的吁请，《画法几何学》的保密令被取消，该书得以正式出版。