奥数.行程.相遇和追及公式_学科竞赛_小学教育_教育专区。奥数.行程.相遇和追及公式
相遇和追及问题 一．行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。 基本公式： 路程＝速度×时间 速度＝路程÷时间 时间＝路程÷速度 关键问题：确定行程过程中的位置 二．相遇 甲从 A 地到 B 地， 乙从 B 地到 A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间. 相向运动相遇问题的 速度和×相遇时间＝总路程，即 数量关系 三．追及 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时 间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得 慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得 慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地追击问题的 追及路程＝速度差×追及时间，即 数量关系 S差 =V差 t S和 =V和t 总路程÷速度和＝相遇时间 总路程÷相遇时间＝速度和 速度差＝追及路程÷追及时间 追及时间＝追及路程÷速度差 环路周长(路程差）÷速度差＝相遇时间 环路上【同向运动】追击问题 环路周长÷相遇时间＝速度差 数量关系 速度差×相遇时间＝环路周长 速度和×相遇时间＝环路周长 路程差÷速度差＝相同走过的时间 往返平均速度＝往返总路程÷往返总时间 平均速度＝总路程÷总时间 【分段提速 】 奥数.行程. 牛吃草 Page1 of 9 1、 “环形跑道” ，也是称为封闭回路，它可以是圆形的、长方形的、三角形的，也可以是由长 方形和两个半圆组成的运动场形状。解题时，我们可以运动“转化法”把线路“拉直”或“截 断” ，从布把物体在“环形路道”上的运动转化为我们熟悉的物体在直线、在行程问题中，与环形有关的行程问题的解决方法与一般行程问题的方法类似，但有两点 值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下一次相遇共行一个全程；而是同地、 同向运动时，甲追上乙时甲比乙多行一个行程。 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点 同向：路程差 相对(反向)：路程和 直径两端 nS nS nS+0.5S nS-0.5S 比例知识精讲： 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴 知识点”的角色。 从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体 现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧 不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、 乙的速度、时间、路程分别用 v甲, v乙；t甲, t乙；s甲， s乙 来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的 路程之比就等于他们的速度之比。相同时间内，速度倍数＝路程倍数。 ?s甲 ? v甲 ? t甲 s s ，这里因为时间相同，即 t甲 ? t乙 ? t ,所以由 t甲 ? 甲 ，t乙 ? 乙 ? v甲 v乙 ?s乙 ? v乙 ? t乙 s v s s 得到 t ? 甲 ? 乙 ， 甲 ? 甲 ，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 s乙 v乙 v甲 v乙 2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所 用的时间之比等于他们速度的反比。路程一定时，时间和速度成反比 ?s甲 ? v甲 ? t甲 ，这里因为路程相同，即 s甲 ? s乙 ? s ，由 s甲 ? v甲 ? t甲，s乙 ? v乙 ? t乙 ? s ? v ? t ?乙 乙 乙 奥数.行程. 牛吃草 Page2 of 9 得 s ? v甲 ? t甲 ? v乙 ? t乙 ， v甲 t乙 ? ，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 v乙 t甲 多次相遇问题： 一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“路程＝速度×时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题 虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发： 第 1 次相遇，共走 1 个全程； 第 2 次相遇，共走 3 个全程； 第 3 次相遇，共走 5 个全程； ????， ??????； 第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程； 注意：除了第 1 次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后 每次都走 2N 米。 2. 同地同向出发： 第 1 次相遇，共走 2 个全程； 第 2 次相遇，共走 4 个全程； 第 3 次相遇，共走 6 个全程； ????， ??????； 第 N 次相遇，共走 2N 个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键 多人相遇追及的解题关键 几个全程 路程差 三、解多次相遇问题的工具——柳卡 柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求 数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以 及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间 是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决 奥数.行程. 牛吃草 Page3 of 9 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 行程问题常用的解题方法及分类： ⑴ 公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用 公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需 要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵ 图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段 图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次 相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶ 比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重 要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有 具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷ 分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为 匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸ 方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的 未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解． 行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体 题型变化多样，形成 10 多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研 究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。 一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、 相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现，约占 80%左右。建议熟 练应用标准解法，即 s=v×t 结合标准画图(基本功)解答。 二、复杂相遇追及问题。 (1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是 三人相遇追及问题。解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚 表明三者的运动状态。 奥数.行程. 牛吃草 Page4 of 9 (2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及， 俗称反复折腾型问题。分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求 n 次相遇或者追及点距特 定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度， 求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。 标准型解法固定，不能从路程入手，将会很繁，最好一开始就用求单位相遇、追及时间 的方法，再求距离和次数就容易得多。如果用折线示意图只能大概有个感性认识，无法具体 得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。 一般用到的时间公式是(只列举甲、 乙从两端同时出发的情况， 从同一端出发的情况少见， 所以不赘述)： 单程相遇时间：t 单程相遇=s/(v 甲+v 乙) 单程追及时间：t 单程追及=s/(v 甲-v 乙) 第 n 次相遇时间：Tn= t 单程相遇×(2n-1) 第 m 次追及时间：Tm= t 单程追及×(2m-1) 限定时间内的相遇次数：N 相遇次数=[ (Tn+ t 单程相遇)/2 t 单程相遇] 限定时间内的追及次数：M 追及次数=[ (Tm+ t 单程追及)/2 t 单程追及] 注：[]是取整符号 之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注意，不要把运 动方向搞错了。 三、火车问题。特点无非是涉及到车长，火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离 桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和。火车与人错身时，忽略人本身的长 度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和。 题型分为： (1)火车 vs 点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s 火车=(v 火车 ±v 人)×t 经过 (2)火车 vs 线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s 火车+s 桥=v 火车×t 经过和 s 火车 1+s 火车 2=(v 火车 1 ±v 火车 2)×t 经过 合并(1)和(2)来理解即 s 和=v 相对×t 经过把电线杆、人的水平长度想象为 0 即可。火 车问题足见基本公式的应用广度，只要略记公式，火车问题一般不是问题。 (3)坐在火车里。 本身所在火车的车长就形同虚设了， 注意的是相对速度的计算。 电线杆、 桥、隧道的速度为 0。火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略 本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种 类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行 奥数.行程. 牛吃草 Page5 of 9 四、流水行船问题。理解了相对速度，流水行船问题也就不难了。理解记住 1 个公式 (顺水船速=静水船速+水流速度)就可以顺势理解和推导出其他公式(逆水船速=静水船速 -水流速度，静水船速=(顺水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(顺水船速-逆水船速)÷2)，对 于流水问题也就够了。技巧性结论如下： (1)相遇追及。 水流速度对于相遇追及的时间没有影响， 即对无论是同向还是相向的两船 的速度差不构成“威胁”，大胆使用为善。当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里 相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与 水速没有关系. (2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，t2：从发 现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时间等式常常非常容易的 解决流水落物问题，其本身也非常容易记忆。 五、间隔发车问题。空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了 3 个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。 (1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再 画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。 (2)在班车外。一般间隔发车问题，联立 3 个基本公式： 汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1 汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔------2 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------3 1、2 合并理解，即 汽车间距=相对速度×时间间隔 分为 2 个小题型： 1.一般间隔发车问题。用 3 个公式迅速作答; 2.求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图-尽可能多的列 3 个好使 公式-结合 s 全程=v×t-结合植树问题数数。 奥数.行程. 牛吃草 Page6 of 9 六、平均速度问题。相对容易的题型。大公式要牢牢记住：总路程=平均速度×总时间。 用 s=v×t 写出相应的比要比直接写比例式好理解并且规范，形成行程问题的统一解决方案。 七、环形问题。是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同路径”、“真 实相遇”、“能否看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位置问题(审题不仔细容易漏 掉多种位置可能)、 不等式问题(针对 “能否看到” 问题， 即问甲能否在线段的拐角处看到乙)。 仍旧属于就题论题范畴。 八、时钟问题。时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及问题，不过这 里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和 总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是 2 个指针“每分钟走多少角度” 或者“每分钟走多少小格” 。 时钟问题是环形问题的特定引申。基本关系式：v 分针= 12v 时针 (1)总结记忆：时针每分钟走 1/12 格， 0.5°;分针每分钟走 1 格， 6°。时针和分针“半” 天共重合 11 次，成直线 次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。 (2)基本解题思路：路程差思路。即 格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差) 格：x=x/12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格) 角：6x=x/2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度) 可以解决大部分时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个 格中间，和哪一个时刻形成多少角度。 (3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了，有相应的比例 公式。 九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式 s 扶梯级数=(v 人速度±v 扶梯速度)×t 上或下 解决最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是 t 上或下要表示成实际走的级 数/人的速度。可以 PK 掉绝大部分自动扶梯问题。 十、十字路口问题。即在不同方向上的行程问题。没有特殊的解题技巧，只要老老实实 把图画对，再通过几何分析就可以解决。 奥数.行程. 牛吃草 Page7 of 9 十一、校车问题。就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和 坐车，最终同时到达目的地(即到达目的地的最短时间，不要求证明)分 4 种小题型： 根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数是否变化分类。 (1)车速不变-班速不变-班数 2 个(最常见) (2)车速不变-班速不变-班数多个 (3)车速不变-班速变-班数 2 个 (4)车速变-班速不变-班数 2 个 标准解法：画图-列 3 个式子： 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间; 2、班车走的总路程; 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。 十二、保证往返类。简单例题：A、B 两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可以携带一个人 24 天的食物和水。如果不准将部分食物存放于途中，其 中一个人最远可深入沙漠多少千米(要求两人返回出发点)?这类问题其实属于智能应用题类。 建议推导后记忆结论，以便考试快速作答。每人可以带够 t 天的食物，最远可以走的时间 T (1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来) 1、两人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。 2、多人：没搞明白，建议高手补充。 (2)穿沙漠类(保证一个人穿过沙漠不回来了，其他人都要活着回来)共有 n 人(包括穿沙 漠者)即多人助 1 人穿沙漠类。 1、中途不放食物：T≤[2n/(n+1)]×t。T 是穿沙漠需要的天数。 2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+?+1/(2n-1))×t 还有几类不甚常见的杂题，没有典型性和代表性，在此不赘述。 在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件： (1)在整个被研究的运动过程中，2 个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2 个物体所走的是同一路径。 奥数.行程. 牛吃草 Page8 of 9 相遇 ? 路程=速度和 ? 相遇 ? ?速度和= 路程 ? 相遇 ?相遇 = 路程 ? 速度和 ? =追及路程 ? 速度差 ?追及 ? ?追及路程=速度差 ? 追及 ?速度差=追及路程 ? 追及 ? 追及 牛吃草问题概念及公式 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典 型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天 数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长 的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃 的较多天数－吃的较少天数） ； 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） ； 4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化 中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以 每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出 的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原 有草的数量，进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是： 1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的 天数)=草地每天新长草的量。 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。 解多块草地的方法 多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算 难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。 奥数.行程. 牛吃草 Page9 of 9